5  Ohmsches Gesetz, Spannungsteiler und Wheatstonesche Brücke

5.1  Stichworte

Elektrische Spannung, Stromstärke, elektrischer Widerstand, Ohmsches Gesetz, Kirchhoffsche Gesetze, Gesamtwiderstand bei Serien- und Parallelschaltung, spezifischer Widerstand, Spannungsabfall, Spannungsteiler, Potentiometer, Strom- und Spannungsmessung

5.2  Ohmsches Gesetz

5.2.1  Einführung

Um den Widerstand eines elektrischen Leiters zu messen, kann man eine Spannung U anlegen und den dann fließenden Strom I messen oder man kann einen vorgegebenen Strom I durch den Leiter schicken und den dadurch hervorgerufenen Spannungsabfall U messen *. Der Widerstand ergibt sich in beiden Fällen zu

Die Einheit des Widerstands ist das Ohm (W). Im Allgemeinen wird der Widerstand von der gewählten Meßspannung bezw. von der Stärke des gewählten Meßstroms abhängen. Für Metalle und Legierungen gilt aber das Ohmsche Gesetz, das sagt, daß Stromstärke und Spannungsabfall bei diesen Leitern einander direkt proportional sind, zumindest bei konstant gehaltener Temperatur des Leiters. In diesen Fällen hängt der Widerstand also nicht von der Meßspannung oder dem Meßstrom ab.

Der elektrische Widerstand R eines zylindrisch oder prismatisch geformten homogenen Leiters ist direkt proportional zu seiner Länge L und umgekehrt proportional zu seiner Querschnittsfläche A. Die Größe

5.2.2  Aufgaben

1. Messen Sie die Strom/Spannungs-Kennlinie eines Widerstandsdrahts, damit Sie sich von der Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes überzeugen können. Dazu stehen außer einer einstellbaren Spannungsquelle ein Drehspul-Voltmeter und ein Drehspul-Amperemeter zur Verfügung. Die beiden in Abbildung 1 gezeichneten Schaltungen sind möglich. In der in der linken Hälfte von Abbildung 1 gezeichneten Schaltung mißt das Voltmeter die wahre, am Meßdraht liegende Spannung; das Amperemeter mißt aber den Stromverbrauch des Voltmeters mit. In der rechts gezeichneten Schaltung mißt das Amperemeter nur den durch den Meßdraht fließenden Strom, aber dafür mißt das Voltmeter die Summe aus der am Meßdraht liegenden Spannung und dem Spannungsabfall am Amperemeter. Bei einem Meßbereich von 2.5  V beträgt der Eigenwiderstand des Voltmeters 2500  W. Das Amperemeter hat bei einem Meßbereich von 250  mA einen Eigenwiderstand von 0.4  W. In welchen Fällen ist der relative Fehler einer Widerstandsmessung bei Benutzung der linken Schaltung kleiner und in welchen bei Benutzung der rechten Schaltung? Entscheiden Sie sich nach einer ersten, groben Widerstandsmessung für die günstigere Schaltung. Messen Sie die Kennlinie I(U) bei Spannungen von 0 bis 2.4  V in Schritten von 0.2  V und stellen Sie die Meßpunkte in einem Diagramm dar. Zeichnen Sie durch die Meßpunkte eine Ausgleichsgerade und ermitteln Sie aus dem Anstieg der Ausgleichsgeraden den Widerstand des Meßdrahts.

2. Berechnen Sie mit Hilfe des spezifischen Widerstands von Kanthal (1.39  mW m) und der Länge des Meßdrahts (1   m) den Durchmesser des Meßdrahts.

5.3  Spannungsteiler

5.3.1  Einführung

Legt man an einen homogen zusammengesetzten Draht konstanten Querschnitts eine Spannung U_B an, so verteilt sich der Spannungsabfall gleichmäßig über die Drahtlänge. Mittels eines verschiebbaren Schleifkontakts kann man beliebige Spannungen im Bereich von 0 bis U_B abgreifen (Abbildung , links). Die abgegriffene Spannung ergibt sich zu

Einen Spannungsteiler mit festem Teilerverhältnis kann man aus zwei Festwiderständen aufbauen (Abbildung 2, rechts). Wenn ein solcher Spannungsteiler aus einer Spannungsquelle mit vernachlässigbar kleinem Innenwiderstand gespeist wird, verhält sich sein Ausgang wie eine Spannungsquelle mit der elektromotorischen Kraft

5.3.2  Aufgaben

1. Messen Sie bei einer festen Spannung U_B = 2.0  V den Spannungsabfall längs des Meßdrahts als Funktion von l in Schritten von 5  cm . Tragen Sie die Meßpunkte in ein Diagramm ein und zeichnen Sie eine Ausgleichsgerade.

2. Leiten Sie die Gleichungen 4 und 5 her. Welche anschauliche Bedeutung hat dir rechte Seite von Gleichung 5 ?

5.4   Wheatstonesche Brücke

5.4.1  Einführung

Eine Wheatstonesche Brücke erlaubt es, einen unbekannten Widerstand R_x durch Vergleich mit einem bekannten Normal-Widerstand R_N zu messen. Weder die Größe der Brückenspeisespannung noch die Kalibrierung des Nullinstruments gehen in das Ergebnis ein, jedenfalls nicht direkt. Man kann die Schaltung (Abbildung 3) als zwei von derselben Spannungsquelle gespeiste Spannungsteilerschaltungen auffassen. Das Nullinstrument zeigt keine Spannung, wenn die Ausgangsspannungen der beiden Spannungsteiler gleich sind. Dann gilt:

5.4.2  Aufgaben

1. Leiten Sie die Gleichung 6 her.

2. Berechnen Sie den relativen Fehler von R_X, der sich aus einem Fehler von 1  mm bei der Ablesung von l ergibt, wenn R_X einen Wert von ¹/₄  R_N, ²/₃  R_N, R_N, ³/₂  R_N oder 4  R_N hat. Was ergibt sich daraus für die Wahl des Normalwiderstandswerts?

3. Bauen Sie eine Wheatstonesche Brückenschaltung nach Schaltbild 3 auf. Stellen Sie die Brückenspeisespannung auf 2  V ein. Verwenden Sie als Normalwiderstand R_N den Stöpsel-Rheostaten. Dieser enthält vier in Reihe geschaltete Normalwiderstände von 10  W, 20  W, 30   W und 40  W. Jeder einzelne kann durch einen kegelförmigen Bolzen, einen Kurzschluß-Stöpsel , überbrückt werden. Die Kegelform ermöglicht einen hohen Anpreßdruck und damit einen kleinen Übergangswiderstand. So lassen sich in Schritten von 10  W alle Widerstandswerte von 10  W bis 100  W verwirklichen. Die Kurzschluß-Stöpsel sollen gut festgedreht, nicht benutzte Stöpsel in den dafür vorgesehenen Bohrungen aufbewahrt werden.

   Schalten Sie zur Messung die Speisespannung mit dem Tastschalter nur kurzzeitig ein und beobachten Sie dabei das Nullinstrument. Verschieben Sie den Abgriff am Meßdraht, bis das Nullinstrument beim Schließen des Tastschalters keinen Ausschlag mehr zeigt. Dann ist die Brücke abgeglichen und Gleichung 6 gilt.

4. Messen Sie jeweils zehn mal die Widerstandswerte von zwei Widerständen. Berechnen Sie die Mittelwerte und die Standardabweichungen der Mittelwerte. Notieren Sie die Bezeichnungen Ihrer Meßobjekte.

5. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand, den man bei Reihen- und Parallelschaltung der beiden untersuchten Widerstände finden würde.

6. Berechnen Sie die elektrische Leistung, die bei der Messung in den Meßobjekten in Wärme verwandelt wurde.

5.5  Geräte

 1 Spannungsversorgungsgerät (0...2.5  V)
 1 Voltmeter (Mavometer 2,5  V)
 1 Amperemeter (Mavometer 0,25  A)
 1 Meßdrahtleiste mit Meßdraht und Schleifkontakt
 1 Stöpsel-Rheostat
 1 Nullinstrument
 1 Tast-Schalter
 2 zu messende Widerstände
 mehrere Meßleitungen mit Bananensteckern

Fußnote:

* Eine weitere Methode ist in 5.4 beschrieben